题目描述

地上有⼀个 m ⾏和 n 列的⽅格。⼀个机器⼈从坐标（0,0） 的格⼦开始移动，每⼀次只能向左，右，上，下四个⽅向移动⼀格，但是不能进⼊⾏坐标和列坐标的数位之和⼤于 k 的格⼦。 例如，当k 为 18 时，机器⼈能够进⼊⽅格（35,37），因为 3+5+3+7 = 18 。但是，它不能进⼊⽅格（35,38），因为 3+5+3+8 = 19 。请问该机器⼈能够达到多少个格⼦？

示例1

输⼊：5,10,10 返回值：21

示例2

输⼊：10,1,100 返回值：29

说明：[0,0],[0,1],[0,2],[0,3],[0,4],[0,5],[0,6],[0,7],[0,8],[0,9],[0,10],[0,11],[0,12],[0,13],[0,14],[0,15],[0,16],[0,17],[0,18],[0,19],[0,20],[0,21],[0,22],[0,23],[0,24],[0,25],[0,26],[0,27],[0,28] 这29种，后⾯的[0,29] , [0,30] 以及[0,31] 等等是⽆法到达的。

思路及解答

DFS（深度优先搜索）

深度优先搜索算法，也就是 DFS ,⾸先需要初始化数组，注意是 boolean 类型的⼆元数组。边初始化边计算位数的和，判断如果⼤于等于阈值的话，就直接置为 true，也就是已经被访问到（但是这⼀部分计⼊结果）。

然后遍历每⼀个元素，只要 i， j 不在合法的索引范围或者是已经被访问过，都会直接返回 false 。

否则的话，可访问的数量 +1，并且递归遍历上下左右四个元素，返回最终的可访问的个数。

DFS 会优先同⼀个⽅向，⼀直⾛下去，不撞南墙不回头，直到条件不满⾜的时候，才会回头。回头之后，每次只会回头⼀步，往另外⼀个⽅向去，同样是⼀头扎进去。

假设有⼀个 4 x 4 的⽅格，从第⼀个开始遍历，假设遍历顺序是上，右，下，左，那么遍历的顺序如下：

  • 时间复杂度：最坏的情况是将所有的格⼦都遍历⼀遍， O(m*n) 。

  • 空间复杂度：借助了额外的空间保存是否被访问过，同样为O(m*n) 。

BFS（⼴度优先搜索）

⼴度优先搜索，也就是没进⾏⼀步，优先搜索当前点的各个⽅向上的点，不急着往下搜索，等搜索完当前点的各个⽅向的点，再依次把之前搜索的点，取出来，同样先搜索周边的点…

这样直到所有都被搜索完成。

同样有⼀个 4 x 4 的⽅格，从第⼀个开始遍历，假设遍历顺序是上，右，下，左，那么遍历的顺序如下： 在上⾯的过程图示中，我们可以发现，访问是有顺序的，每遍历⼀个新的⽅块，都会标⼀个顺序，然后按照顺序遍历其四个⽅向。

这也就是⼴度优先搜索的本质，我们需要⼀个队列，来保存遍历的顺序，每次都从队列⾥⾯取出⼀个位置，遍历其四周的⽅块，每次遍历到的点，都会放到队列⾥⾯，这样直到队列为空的时候，也就是全部遍历完成。

  • 时间复杂度：最坏的情况是将所有的格⼦都遍历⼀遍， O(m*n) 。

  • 空间复杂度：借助了额外的空间保存是否被访问过，同样为O(m*n) 。

动态规划（最优解）

利用递推关系式，避免重复计算。

  • 格子(i,j)可达 ⇔ 数位和满足条件 ∧ (左边格子可达 ∨ 上边格子可达)

  • dp[i][j]表示(i,j)是否可达，基于左边和上边格子的状态：dp[i][j] = (digitSum(i) + digitSum(j) ≤ k) && (dp[i-1][j] || dp[i][j-1])

  • 时间复杂度：O(mn)，双重循环遍历所有格子

  • 空间复杂度：O(mn)，dp数组的空间