题目描述
我们可以用 2 * 1 的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个 2 * 1 的小矩形无重叠地覆盖一个2 * n的大矩形，总共有多少种方法？
比如n=3时，2 * 3 的矩形块有3种覆盖方法：
思路及解答
我们需要用若干个2×1的小矩形（可以横放或竖放）无重叠地覆盖一个2×n的大矩形，求总共有多少种不同的覆盖方法。例如当n=3时，共有3种覆盖方法。
通过观察小规模案例，我们可以发现：
n=1时，只有1种方法（竖放）
n=2时，有2种方法（两个竖放或两个横放）
n=3时，有3种方法
n=4时，有5种方法
显然，这形成了一个类似斐波那契数列的规律：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。这一题其实和上面青蛙跳台阶和斐波那契数列是一样的，变的只是场景。
递归
递归是解决这类问题最直观的方法。对于2×n的矩形，我们考虑第一块小矩形的放置方式：
如果竖着放，则剩下的部分是2×(n-1)的矩形，有f(n-1)种方法
如果横着放，则下方也必须横放一块，剩下的部分是2×(n-2)的矩形，有f(n-2)种方法
因此，总方法数为这两种情况之和：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，这正是斐波那契数列的递推关系
时间复杂度：O(2^n)，存在大量重复计算
空间复杂度：O(n)，递归调用栈深度
动态规划
在递归解法基础上，我们可以加入记忆化存储，避免重复计算。使用一个数组存储已经计算过的结果，每次计算前先检查是否已存储
时间复杂度：O(n)，每个子问题只计算一次
空间复杂度：O(n)，需要存储中间结果
优化的动态规划（空间优化）
观察发现，计算f(n)只需要前两个状态f(n-1)和f(n-2)，因此可以用两个变量代替整个数组，将空间复杂度优化到O(1)。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)